БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКИЕ КОНФЕРЕНЦИИ

<< ГЛАВНАЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 16 |

«SPECTRAL AND EVOLUTION PROBLEMS Volume 19 Simferopol, 2009 UDC 517+515 International Scientic Journal Spectral and Evolution problems: Proceedings of the Nineteenth Crimean Autumn ...»

-- [ Страница 1 ] --

International Scientic Journal

SPECTRAL AND EVOLUTION

PROBLEMS

Volume 19

Simferopol, 2009

UDC 517+515

International Scientic Journal

Spectral and Evolution problems: Proceedings of the Nineteenth

Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Vol. 19. /Group of

authors. –

Simferopol: Taurida National V. Vernadsky University

It is addressed to teachers, scientists, senior and post-graduated students of mathematical and physical specialities.

c Taurida National V.Vernadsky University, 2009.

Please visit our site in the Internet: www.kromsh.info Труды международной конференции XIX Крымская Осенняя Математическая Школа (КРОМШ-2008) УДК 517.984.7 MSC2000: 47B60,47A Д.В. Байдюк

О МАТРИЦАХ РАССЕЯНИЯ УНИТАРНЫХ

РАСШИРЕНИЙ ИЗОМЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

В ПРОСТРАНСТВЕ ПОНТРЯГИНА

В статье введены понятия граничного отношения и соответствующей функции Вейля для изометрического оператора V в пространстве Понтрягина. Изучена связь с теорией унитарных узлов в пространстве Понтрягина. Получено описание матриц рассеяния унитарных расширений V, если дефектные подпространства этого оператора положительные.

Notions of boundary relation and the corresponding Weyl functions for an isometric operator V in Pontryagin space is introduced. Connection with the theory of unitary colligation in Pontryagin space is studied. In the case when defect subspace of V are positive a description of scattering matrices of unitary extension of V is given.

Введение Задача об описании матриц рассеяния унитарных расширений изометрических операторов естественно возникает как в теории линейных систем так и в теории интерполяционных задач, таких как проблема Шура [1], бикасательная интерполяционная задача [2]. Такое описание было получено в терминах матрицы рассеяния изометрического оператора в [3]. Этот результат является дискретным аналогом формулы М.Г. Крейна для обобщенных резольвент симметрического оператора, полученной в [4]. В [5] было приведено новое геометрическое доказательство формулы М.Г. Крейна для обобщенных резольвент, опирающееся на теорию граничных отношений (см. также [6]). Этот геометрический подход был адаптирован в работе М. Маламуда и В. Могилевского [7] к описанию обобщенных корезольвент изометрического оператора, что привело к введению нового понятия – граничной тройки и соответствующей функции Вейля для изометрического оператора.

В настоящей работе вводится понятия граничного отношения для изометрического оператора и соответствующей функции Вейля, обобщающие аналогичные понятия для симметрического оператора в [5]. Получено описание матриц рассеяния унитарных расширений изометрических операторов в пространстве Понтрягина в предположении, что дефектные подпространства оператора V невырождены и положительны. В случае, когда пространства входов и выходов системы совпадают, аналогичная задача, но другим методом рассматривалась О. Ницем в работах [8], [9].

2 Д.В. Байдюк 1. Обозначения и вспомогательные утверждения.

Напомним некоторые сведения о линейных отношениях из [10], [5]. Пусть H, H это гильбертовы пространства. Линейное отношение T из H в H это линейное подпространство в HH. Если линейный оператор T отождествить с его графиком, то множество [H, H ] линейных ограниченных операторов из H в H содержится в множестве линейных отношений. Обозначим dom T, ker T, ran T, и mul T область определения, ядро, область значений, и многозначную часть линейного отношения T, соответственно. Для линейного оператора T [H] обозначим через p (T ) множество его собственных значений.

Пусть H1 и H2 гильбертовы пространства и пусть jH1 и jH2 сигнатурные операторы в них, т.е. jHk = jHk = jHk, k = 1, 2. Интерпретируем пространства H1 и H2 как пространства Крейна (H1, jH1 ), (H2, jH2 ) (см. [10]), в которых индефинитное скалярное произведение определено равенствами:

Для линейного отношения T : (H1, jH1 ) (H2, jH2 ) сопряженное линейное отношение T [] : (H2, jH2 ) (H1, jH1 ) – определяется соотношением:

Дефектное подпространство линейного отношения T, определим как Определение 1. Линейное отношение T из пространства Крейна (H1, jH1 ) в пространство Крейна (H2, jH2 ) называется унитарным, если T 1 = T [].

Определение унитарного отношения впервые приведено в [11]. Там же доказано Предложение 1. Если T унитарное отношение из (H, jH ) в (H, jH ), то:

(1) dom T является замкнутым тогда и только тогда, когда ran T замкнуто;

(2) справедливы равенства ker T = dom T [] и mul T = ran T [].

Сигнатурный оператор jH можно представить в виде jH = P+ P, где P+ и P ортопроекторы в H. В том случае, когда P конечномерен и dimP H =, пространство Крейна (H, jH ) называют пространством Понтрягина с отрицательным индексом, и пишут ind H = (см. [10]).

2. Граничные отношения для изометрического оператора и их Пусть (H, J) – это пространство Понтрягина, а JH2 и JL1 L2 – операторы вида и пусть –это линейное отношение из (H2, JH2 ) в (L1 L2, JL1 L2 ).

Определение 2. Положим U является линейным отношением из (H L2, J IL2 ) в (H L1, J IL1 ).

В том случае, когда H является гильбертовым пространством в {H2, JH2 }, а –унитарным оператором, T () представляет собой преобразование ПотаповаГинзбурга и является унитарным оператором из H L2 в H L1.

Обратное преобразование имеет вид Теорема 1. Линейное отношение : (H2, JH2 ) (L1 L2, JL1,L2 ), является унитарным тогда и только тогда, когда линейное отношение U является унитарным Определим теперь понятие граничного отношения.

Определение 3. Линейное отношение : H2 L1 L2 будем называть граничным отношением для изометрии V, если:

(1) –унитарное отношение из (H2, JH2 ) в (L1 L2, JL1,L2 );

(3) mul T () = {0}.

Пусть –граничное отношение для изометрии V : H H. Тогда линейное отношение U = T () является графиком некоторого унитарного оператора U : HL H L1. Рассмотрим его блочное представление:

Совокупность = (U, H, L2, L1 ), называется унитарным узлом. Пространства H, L2, L1 называются соответственно пространствами состояний, входов и выходов, оператор U называется связующим оператором узла (см.[12, 13]).

Оператор-функция называется характеристической функцией узла ([12, 13]). Определим множества Представление (3) позволяет получить явные формулы для.

Теорема 2. Пусть : (H2, JH2 ) (L1 L2, JL1,L2 ) граничное отношение изометрии V : H H и пусть линейное отношение U = T () является графиком унитарного оператора U, имеющего блочное представление (3). Тогда:

(1) Граничное отношение имеет вид (3) Линейное отношение V [] имеет вид (4) Дефектное подпространство V 1 имеет вид Предложение 2. В условиях Теоремы 2 линейное отношение N (V 1 ), Di имеет вид Определение 4. Функцией Вейля изометрии V, соответствующей граничному отношению назовем оператор-функцию Из формулы (7) следует, что ran N (V 1 ) является графиком функции Напомним (см. [13]), что мероморфная в D [L2, L1 ]-значная функция s принадлежит классу S (L2, L1 ), если ядро Kµ () = 1s(µ) s() имеет отрицательных квадратов в (s), где (s) область голоморфности s. Положим по определению S(L2, L1 ) = S0 (L2, L1 ).

Определение 5. Граничное отношение называется простым, если Если граничное отношение является простым и ind H =, то узел в (3) является простым. И как следует из [13] и Определения 4, функция Вейля, соответствующая граничному отношению, принадлежит классу S (L2, L1 ).

3. Матрица рассеяния изометрического оператора.

Понтрягина с отрицательным индексом, L1 и L2 –гильбертовы пространства, дефектные подпространства оператора V, будем предполагать их невырожденными и положительно определенными. Рассмотрим сюръективные и изометрические операторы Обозначим T = V Pdom V – несущественное расширение оператора V. Тогда блочный оператор образует унитарный узел. Рассмотрим унитарный узел V как 33 блочную матрицу и переставим в ней два последних столбца. Используя обозначения для блоков оператора T, получим новый унитарный узел с пространством входов и пространством выходов. Характеристическая функция V () унитарного узла (9) называется матрицей рассеяния изометрического оператора V с каналовыми пространствами L1 и L2, и имеет вид Из Теоремы 2 следует, что матрицу рассеяния V () изометрического оператора V можно интерпретировать как функцию Вейля некоторого граничного отношения простым, матрица-функция V () принадлежит классу S.

4. Описание матриц рассеяния унитарных расширений Пусть теперь U – унитарный оператор из на Понтрягина с отрицательным индексом, а L1 и L2 гильбертовы пространства.

Определение 6. Оператор-функция s() со значениями в [L2, L1 ], определенная в D\p (U )1 равенством называется матрицей рассеяния унитарного оператора U по отношению к каналовым пространствам L1 и L2.

Оператор U можно записать в блочном виде Оператору U, в силу Теоремы 2, соответствует граничное отношение = T 1 (U ).

Теорема 3. Пусть U : –некоторое унитарное расширение изометрического оператора V :

N, M положительны и невырождены и пусть V () определена равенством (10).

Тогда формула устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множеством матриц рассеяния унитарных расширений оператора V, и множеством оператор-функций S(N+, N ).

Доказательство теоремы 3 основано на представлении граничного отношения = T 1 (U ) в виде сцепления граничного отношения = T 1 (V ) и некоторого граничного отношения, функция Вейля которого равна ().

[1] Дубовой В.К. Индефинитная метрика в интерполяционной проблеме Шура для аналитических функций// Теория функций, ф. ан и их прилож. – 1982. – С. 14-26.

[2] Аров Д.З. Обобщенная бикасательная проблема Каратеодори–Неванлинны–Пика и (j, J0 )–внутренние матрицы–функции// Изв. РАН, Мат. –1993.– No.1. – С. 121-135.

[3] Аров Д.З., Гроссман Л.З. Матрицы рассеяния в теории расширений изометрических операторов//ДАН СССР. – 1983. – 33,No.4. – С.17-20.

[4] Крейн М.Г. О резольвентах эрмитовых операторов с индексом дефекта (m, m)// Докл. АН СССР. – 1946. – т.52, No.8. – С. 657–660.

[5] V.A. Derkach, S. Hassi, M.M. Malamud, and H.S.V. de Snoo, Boundary relations and their Weyl families, Transactions of AMS, Vol. 358, no. 12, 5351-5400.

[6] Derkach V.A., Hassi S., Malamud M.M., and de Snoo H.S.V. Generalized resolvents of symmetric operators and admissibility// Methods of Functional Analysis and Topology. – 2000. – 6. – P. 24–55.

[7] Маламуд М.М., Могилевский В.И. Обобщенные резольвенты изометрического оператора// Матем. заметки. – 2003. – т.73, No.3. – С. 460–466.

[8] Nitz O. Generalized rezolvents of izometric linear relation in Pontryagin space, 1:

Foundations//Operator theory: Advanced and Applications. – 2000.– vol.118.–303–319.

[9] Nitz O. Generalized rezolvents of izometric linear relation in Pontryagin space, 2: Krein– Langer formyla//Methods of Functional Analysis and Topology. – 2000.– vol.6.No.3.–72–96.

[10] Азизов Т.Я., Иохвидов И.С.Основы теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой.// Москва "Наука".–1986, – 352.

[11] Шмульян Ю.Л. Теория линейных отношений, и пространства с индефинитной метрикой.// Ф. Ан.и прил.–1976 – т.10,No.1, – с.67-72.

[12] Бродский Б.С. Унитарные операторные узлы и их характеристические функци// Успехи матем. наук

. – 1978.

[13] Alpay D., Dijksma A., Rovnyak J., and de Snoo H.S.V. Schur functions, operator colligations, and reproducing kernel Pontryagin spaces// Oper. Theory: Adv. Appl., 96, Birkhuser Verlag, Basel, 1997. – 229 p.

Байдюк Дмитрий Витальевич, 83055, Украина, Донецк, Донецкий Национальный Университет, Университетская, E-mail: baydyuk@gmail.com Труды международной конференции XIX Крымская Осенняя Математическая Школа (КРОМШ-2008) УДК 517.518.26 MSC2000: 26E10, 46E

О НЕКОТОРЫХ КОНСТРУКЦИЯХ ФУНКЦИЙ В

ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА БЕСКОНЕЧНОГО

ПОРЯДКА

Работа посвящена изучению условий существования и построению функции, принимающей на границе области G Rn заданные значения со всеми своими производными, в пространстве Соболева бесконечного порицательная числовая последовательность, 1 p, · p норма в пространстве Лебега Lp (G). Такие пространства введены Ю. А. Дубинским [1], [2].

The existence and construction of a function with given boundary values in Sobolev space of innite order W {a, p}G are studied in this paper (1 p ). The problem was solved in one-dimensional case, and in case of cylindrical domain G = (0, a) Q, where Q R1.

Пространство (1) называется нетривиальным, если пространство содержит хотя бы одну функцию, отличную от тождественного нуля.

Пусть на границе области G задано семейство функций (x ), x, мультииндекс.

Определение 1. Если существует функция u W {a, p}(G) такая, что то последовательность { (x )} называется следом на функции u, а сама функция u(x) (x G) продолжением этого следа в пространстве (1).

В теории продолжения возможны две постановки задачи:

1. Выделить класс последовательностей граничных значений, продолжимых в любом нетривиальном пространстве (1).

2. Для конкретного пространства (1) найти условия на последовательность граничных значений, при которых она допускает продолжение в нем.

В отличие от классических пространств Соболева Wp (G) вопрос о возможности продолжения следа в пространстве (1) нетривиален даже в одномерном случае.

В связи с этим сначала сформулируем условия продолжения числовых последовательностей в пространстве Ясно, что случай bn 0, cn 0, n = 0, 1, 2,..., рассматривается аналогично, а общая задача с bn 0, cn 0 есть объединение этих двух задач.

В дальнейшем естественно предполагать пространство нетривиальным. Для этого, как показано в работе [2], необходимо и достаточно, чтобы последовательность {Mn } = an p, если an = 0 и Mn =, если an = 0, определяла неквазианалитический класс Карлемана функций одного вещественного переменного, т. е.

{Mn } выпуклая регуляризация последовательности {Mn } посредством логагде рифмов (см. [3]).

Теорема 1. Для того, чтобы след {bn } был продолжим в любом нетривиальном пространстве, необходимо и достаточно существования такой постоянной Такой след называется аналитическим. Доказано также, что для любого нетривиального пространства (1) существует класс неаналитических следов {bn }, продолжимых в нем.

Необходимым условием существования функции, удовлетворяющей условиям (4), в пространстве (5) является сходимость числового ряда:

Достаточные условия продолжения следа существенно зависят от скорости убывания последовательности {an }.

Теорема 2. Если последовательность {an } быстро убывающая, т. е.

то при q 2 условие (8) является и достаточным. В случае 1 q 2 для критерия продолжения следа существенным является условие логарифмической выпуклости последовательности {a1 }.

Доказательство носит конструктивный характер. Пусть инервал (0, a) = (0, 1).

Для построения базисных функций используется известная числовая последовательность, такая что Тогда для любого числа 1 0 существует функция C (R), удовлетворяющая следующим условиям:

n = 0, 1, 2,..., определим базисные функции где s наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию введем функцию Здесь номер n0 s такой, что для всех n n0 выполняются неравенства dn и dn+l d1 2, l наименьшее натуральное число, для которого q l q l1 1, что возможно в силу условия (9). Установив равномерную сходимость этого ряда, а также рядов, составленных из производных, убеждаемся, что u1 W {an, p}(0, 1).

Однако, функция u1 удовлетворяет не всем граничным условиям, в частности, в точке x = 1 для всех n и в точке x = 0 при n n0. Убеждаясь, что для функции u1 последовательность Dk u1 1 при k n0 есть аналитический след, можно подправить ее так, что будут удовлетворены все условия (4) для n n0. Для n n след {bn }, очевидно, аналитический, что позволяет окончательно получить искомую функцию, принадлежащую пространству (1) и удовлетворяющую всем условиям (4). Тем самым справедливость теоремы доказана.

Кроме того, получены различные достаточные условия продолжения следа для последовательностей {an }, убывающих более медленно. Все доказательства носят конструктивный характер (см. [4]).

Для многомерного случая рассмотрена ( + 1)-мерная полоса G = (0, a) R, 1, где a может равняться бесконечности. Тогда пространство (1) принимает вид:



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 16 |
 


Похожие материалы:

«XVI Международная конференция по СПИДу в Торонто Положительная газета для положительных людей ШАГИ профессионал № 3/2006 СОДЕРЖАНИЕ XVI Международная конференция по СПИДу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 По следам конференции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Выступление депутата ...»

«MODERN PRIORITIES FOR THE PROFESSIONAL DEVELOPMENT OF PUBLIC SERVANTS: INTERNATIONAL EXPERIENCES the collection of articles and reports of theXXVI annual ENTO conference, October 1–2, 2013 Chernigov – Lugansk, 2013 2 Европейская сеть организаций по подготовке членов местных и региональных органов власти (ENTO) Луганский центр последипломного образования Общественная организация Центр образовательных услуг СОВРЕМЕННЫЕ ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ ПРОФЕССИОНАЛИЗМА ПУБЛИЧНЫХ СЛУЖАЩИХ: МЕЖДУНАРОДНЫЙ ОПЫТ ...»

«XII Всероссийский научный форум Мать и дитя НАУЧНАЯ ПРОГРАММА 27–30 сентября 2011 года Президент форума академик РАМН Сухих Г.Т. Выражаем благодарность Генеральный спонсор Главные спонсоры Спонсоры Спонсор материалов Спонсор конференции молодых ученых XII Всероссийский научный форум Мать и Дитя 2 Уважаемые коллеги, друзья! Приглашаем Вас к участию в работе оче редного XII Всероссийского научного форума Мать и дитя. 2011 год насыщен новыми задачами и меро приятиями в области улучшения демогра ...»

« ...»






 
© 2013 www.kon.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»